A..3 シグナル値分散 - シグナル値関係 : $\sigma _{\rm ADU}^2$ - $S_{\rm ADU}$ relation

あるピクセルにおいて、一定の光量の照射や熱電流に起因するシグナル値を、 充分多数回にわたって測定したとき、その平均値が$S_{\rm ADU}$ [ADU]、 標準偏差が $\sigma_{\rm ADU (all)}$ [ADU] であったとする。また、ADU単位での読みだし雑音を $\sigma_{\rm ADU(ro)}$ [ADU] とする。このとき、蓄積された電子そのものに起因するシグナル値の標準偏差 $\sigma_{\rm ADU}$との間に以下の関係が成り立つ。

$$\sigma_{\rm ADU}^2 = \sigma_{\rm ADU (all)}^2 - \sigma_{\rm (ro)}^2$$ (15)

一方、このとき、平均として$S_e$ [electrons]の電子が生じたとすると、 各測定ごとの生成電子数不定性、$\sigma_e$ [electrons]は、 Poisson noiseで表されるため、

$$\sigma_{e}^2 = S_{e}$$ (16)

となる。

このとき、 $\sigma_{\rm ADU}$と、$\sigma$は、以下の誤差伝播式により結びつけられる。

$$\sigma_{\rm ADU}^2 = \left(\frac{\partial S_{\rm ADU}}{\partial S_{e}}\right)^2 \sigma_{e}^2$$ (17)

ここで、式(10)を$S_e$で微分して、

$$\frac{\partial S_{\rm ADU}}{\partial S_{e}} = \frac{\partial k(S_{e})}{\partial S_{e}}S_{e}+k(S_{e})$$ (18)

が得られるので、式(17)は、式(18)、(16)、(10)を 用いて、

$$\sigma_{\rm ADU}^2 = \left(\frac{\partial S_{\rm ADU}}{\partial S_{e}}\right)^2 \sigma_{e}^2$$

$$= \left(\frac{\partial k(S_{e})}{\partial S_{e}}S_{e}+k(S_{e})\right)^2 S_{e}$$ (19)

$$= \left(\frac{\partial k(S_{e})}{\partial S_{e}}S_{e}+k(S_{e})\right)^2 \cdot \frac{S_{\rm ADU}}{k(S_{e})}$$ (20)

より、

$$\frac{\sigma_{\rm ADU}^2}{S_{\rm ADU}} = \left(\frac{\partial k(S_{e})}{\partial S_{e}}S_{e}+k(S_{e})\right)^2 \cdot \frac{1}{k(S_{e})}$$ (21)

$$= k(S_{e}) + 2\left(\frac{\partial k(S_{e})}{\partial S_{e}} \right... ...)}\left[ \left( \frac{\partial k(S_{e})}{\partial S_{e}}\right) S_{e}\right] ^2$$ (22)

となる。ここで、

$$k_{\rm nc} \equiv \frac{\sigma_{\rm ADU}^2}{S_{\rm ADU}}$$ (23)

$$\epsilon (S_e) \equiv \left(\frac{\partial k(S_{e})}{\par... ...S_{\rm ADU}}\right)S_{\rm ADU} \equiv \epsilon (S_{\rm ADU})$$ (24)

と定議すると、

$$k_{\rm nc}(S_{\rm ADU}\;{\rm or}\;S_e) = k(S_e) + 2 \epsilon (S_e) + \epsilon (S_e)^2/k(S_e)$$ (25)

$$\sim k(S_{\rm ADU}) + 2 \epsilon (S_{\rm ADU}) + \epsilon (S_{\rm ADU})^2/k(S_{\rm ADU})$$ (26)

と書ける。ここで、

1. $\epsilon (S_{\rm ADU}) \sim 0$のとき、
   

   $$k = k_{\rm nc}$$ (27)

   
   
   となる。 即ち、 $\sigma_{\rm ADU}$と$S_{\rm ADU}$を測定し、(23)式に より $k_{\rm nc}(S_{\rm ADU})$を得た場合、 そのまま真のゲイン値の分布、 $k(S_{\rm ADU})$が得られる。 一方、
2. $\epsilon (S_{\rm ADU})\neq 0$ (但し $\vert\epsilon (S_{\rm ADU})\vert < 1$) のとき、
   

   $$k \sim k_{\rm nc} - 2 \epsilon (S_{\rm ADU})$$ (28)

   $$\sim k_{\rm nc} - 2\left(\frac{\partial k}{\partial S_{\rm ADU}}\right)S_{\rm ADU}$$ (29)

   $$\neq k_{\rm nc}$$

   
   
   つまり、ゲイン値 $k(S_{\rm ADU})$の変化率 $({\partial k}/{\partial S_{\rm ADU}})$と シグナル値$S_{\rm ADU}$の積が無視できるほど十分小さく ない場合は、 $k_{\rm nc}(S_{\rm ADU})$から、真のゲイン値 $k(S_{\rm ADU})$をf直接得ること はできない。

ところで、式(21)、(23)、(24)より、

$$\frac{{\rm d}k(S_{\rm ADU})}{{\rm d}S_{\rm ADU}} = \frac{... ...\rm ADU})k_{\rm nc}(S_{\rm ADU})}-k(S_{\rm ADU})}{S_{\rm ADU}}$$ (30)

と書ける。よって、もしSLPT法により、 $k_{\rm nc}(S_{\rm ADU})$の関数形が得られており、 かつ、境界条件として、適当な$S_{\rm ADU_0}$における $k_0=k(S_{\rm ADU_0})$が正しく分かっている場合、 式(30)を解析的、もしくは、数値的に解くことで、 任意の$S_{\rm ADU}$における、真のゲイン値分布、 $k(S_{\rm ADU})$を得ることができる。